《基于 MINITAB 的现代实用统计》网上资源 第 1 篇 多元统计分析 第 1 章 多元正态分布及其统计分析 1.1 多元正态分布概念及其参数估计 1.1.1 随机向量 1.1.1.1 随机向量的定义 1.1.1.2 随机向量的样本（样本资料阵） 例 1-1 焊接技术培训班有 10 名学生：基础焊接技术（BWT），焊接技术提高（AWT）和 焊接车间实践（PWW）的成绩如表 1-1 所示（数据文件 MV_焊接成绩.BTW）。 表 1-1 10 名学生的焊接技术成绩 1X 2X 3X 96 92 91 85 91 80 96 92 90 90 86 97 78 75 94 98 87 92 75 72 86 97 93 95 88 89 92 79 73 80 其样本资料阵是 96 92 91 85 91 80 96 92 90 90 86 97 78 75 94 98 87 92 75 72 86 97 93 95 88 89 92 79 73 80 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.1.1.3 随机向量的联合分布、边缘分布、条件分布 1.1.1.4 随机向量的数字特征 1 1.1.2 多元正态分布的定义与基本性质 1.1.3 多元正态分布的参数估计 1.1.3.1 多元正态总体的重要统计量 1．样本均值向量 X : 使用 MINITAB 软件来计算样本均值也是很简单的 。使用 MINITAB 指令：从“统计> 基本统计量>显示描述性统计(Stat>Basic Statistics>Display Descriptive Statistics) ”进入 “显示描述性统计”框（界面见图 1-W1 左下），在“变量（Variable）” 空格中填入相应各变量名称所在列，点击“统计量（Statistics）”弹出“描述性统计- 统计量”框（见图 1-W1 右下），选择“均值（Means）”，各框点击“确定（OK）”即可完成 计算。 图 1-W1 求多元分布样本均值操作过程图 对于例 1-1，样本均值经过计算，在会话区可得下列结果。 结果: MV_焊接成绩.MTW 描述性统计: x1, x2, x3 2 变量 平均值 x1 88.20 x2 85.00 x3 89.70 由此可见X 88.2 85.0 89.7 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2．样本协方差阵 （也称为样本方差阵）: S 3．样本离差阵 A： 在软件 MINITAB 中，没有专门的窗口求出样本离差阵 A，但有专门的窗口计算样本协 方差阵 。其操作如下：从“统计 > 基本统计量 > 协方差 (Stat>Basic Statistics> Covariance)” （界面见图 1-W2 左半）进入协方差框，在“变量（Variable）”空格 中填入相应各变量名称所在列（界面见图 1-W2 右半），各框点击“确定（OK）”即可完成计 算。 S 图 1-W2 求样本协方差阵操作过程 对于例 1-1，样本协方差阵经过计算，在会话区就可得下列结果。 结果: MV_焊接成绩.MTW 协方差: x1, x2, x3 x1 74.6222 x2 62.7778 70.2222 x3 24.4000 15.3333 34.9000 由于样本协方差阵是对称的，会话区窗口结果中只显示了协方差阵的下三角部分，所以 整个样本协方差阵全部写出则应是： 3 74.6222 62.7778 24.4000 S 62.7778 70.2222 15.3333 24.4000 15.3333 34.9000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 如果采用存储功能，则存储的样本协方差阵就是整个方阵而不是三角阵，这个矩阵对角 线上的3个数74.6222、70.2222、34.9，分别是基础焊接技术（BWT），焊接技术提高（AWT） 和焊接车间实践（PWW）三门课成绩的样本方差。 样本离差阵等于样本协方差阵乘以 n 1− ，所以例 1-1 样本离差阵就是 74.6222 62.7778 24.4000 671.6 565 219.6 A (10 -1) 62.7778 70.2222 15.3333 = 565.0 632 138.0 24.4000 15.3333 34.9000 219.6 138.0 314.1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 4．样本相关阵 R ： ( )ij p pR r ×= ， (1-23) 其中 ij ij ij ii jj ii jj s a r s s a a = = ( , , , )i j 1 p= L 。 这里 代表的是ijr iX 与 jX 这两个分量间的样本相关系数。在 MINITAB 软件中，样本相 关阵可以直接计算得出，其操作是：从“统计 > 基本统计量 > 相关 (Stat > Basic Statistics > Correlation)”进入相关框计算（界面从略），在“变量（Variable）” 空格中填入相应各变量名称所在列，各框点击“确定（OK）”即可完成计算。在 MINITAB 软件的计算中，不但可以计算出样本相关阵，即求出任意一对变量的相关系数，而且还可以 给出相关系数是否为 0 的检验（ 0 : 0, :ij A ijH H 0ρ ρ= ≠ ），计算输出中包含的是此检验的 p 值，当 p 0.05< 时，则有理由拒绝原假设，也就是说 iX 与 jX 这两个分量间一定是相关的； 当 p 0.05≥ 时，则没有足够的理由拒绝原假设，也就是说无法断言 iX 与 jX 这两个分量间 是相关的，也就可以认为 iX 与 jX 这两个分量间是无关的。 对于例 1-1，样本相关阵经过计算，在会话区可得下列结果。 结果: MV_焊接成绩.MTW 相关: x1, x2, x3 x2 0.867 4 0.001 x3 0.478 0.310 0.162 0.384 单元格内容: Pearson 相关系数 P 值 由于样本相关阵是对称的，对角线上全是 1，会话区窗口结果中只显示了扣除对角线后 的下三角部分，所以整个样本相关阵全部写出则应是： 1.000 0.867 0.478 R 0.867 1.000 0.310 0.478 0.310 1.000 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 如果采用存储功能，则存储的样本相关阵就是方阵而不是三角阵。 1．1．3．2 多元正态总体样本的联合分布密度 1．1．3．3 ,μ ∑的极大似然估计 1．1．4 多元抽样分布 1.2 多元正态总体的参数检验 1.2.1 单个多元正态总体均值的检验方法 例 1-2 对我国某少数民族的21位同胞测量了其血液中4种成份的含量，数据见表1-W1， 数据文件：MV_血液检验.MTW。已知对于血液中这 4 种成份含量的全国调查结果之均值（见 数据表最后一行），问此少数民族血液成份是否与全国均值有系统差别？ 表 1-W1 少数民族血液成份数据 编号 1X 2X 3X 4X 编号 1X 2X 3X 4X 1 18.8 28.1 5.1 35.1 12 16.7 26.7 2.1 34.9 2 17.4 25.6 4.9 33.9 13 18.1 26.7 4.3 31.5 3 16.0 27.4 5.0 32.2 14 16.7 26.0 3.0 32.7 4 19.3 29.5 1.7 29.1 15 18.1 30.2 7.0 34.9 5 17.4 27.4 4.5 35.6 16 20.2 30.5 4.8 34.4 6 15.3 25.3 3.6 32.2 17 20.2 29.5 5.5 36.2 7 16.7 25.8 4.4 33.0 18 21.5 31.5 5.8 36.5 8 17.4 26.7 4.4 33.0 19 18.8 30.6 5.4 35.4 9 16.2 25.7 2.3 33.9 20 21.6 27.8 4.8 34.1 10 16.7 26.7 6.4 35.0 21 21.3 29.5 5.8 35.8 11 18.2 28.0 3.2 29.7 全国平均 17.5 27.5 5.0 35.0 此时，数据存放要成为这样的形式，除了各变量数据外，要有专门的一列存放给定的均 5 值向量。例 1-2 存放为下列形式（见图 1-W3） 图 1-W3 少数民族血液数据图 计算时，可以直接调用宏指令。本例只要这样书写即可： %multmean C2-C5; （数据存放处，将所有列号都列出即可，不一定连续排列） means C6; （欲检验的均值存放处，此列不可缺） mstore c7; （样本均值的存放处，此列可缺，这时结果只在运行窗中给出） fstore c8; （检验结果 值的存放处，此列可缺，这时结果只在运行窗中给出） F pstore c9. （检验结果 p 值的存放处，此列可缺，这时结果只在运行窗中给出） 注意书写格式要严格按上述形式给出（大小写任意）。各行结尾要用分号“;”，宏指令 最后结尾要用圆点“.”，专用名词“means”，“mstore”，“fstore”，“pstore”不能有 拼写错误，且各句都要换行。最后 3 行可有可无，但“means”一行，即指定待检验的总体 均值位置不能缺少。 在 MINITAB 中操作是这样进行的。从“编辑 > 命令行编辑器（Edit > Command Line Editor）” 入口（界面见图 1-W4 左），弹出“命令行编辑器”对话框（见图 1-4 右），然 后在对话窗内填写宏指令，点击“提交命令（Submit Commands）”，就可以得到结果。 6 图 1-W4 多元总体均值检验宏指令操作图 在运行窗中显示的结果是： Test of Multivariate Means F-value 3.50255 P-value 0.0292343 行 xmean Test-mean 1 18.2190 17.5 2 27.8667 27.5 3 4.4762 5.0 4 33.7667 35.0 与此同时，在数据文件中，在相应的 C7、C8、C9 中存放着样本均值向量、F 值、p 值。 如果在宏指令中只保留前两行： %multmean C2-C5; means C6. 则样本均值向量、 值、F p 值的计算结果只在运行窗中显示。 从本例结果的 p 值=0.0292343可以看出，应该拒绝原假设，即可以断言，此少数民族 的血液成份与全国的均值确实有差异,与直接按步计算结果基本一致。 例 1-3 测量 20 名从事蓝领工作的健康成年女性汗液数据，其中 3项指标是：排汗量 1X 、 钠含量 2X 、钾含量 3X ，数据汇总见表 1-W2，数据文件：MV_汗液.MTW。而已知一般健康女 性的 1X 、 2X 、 3X 的均值分别是 4、50、10。问从事蓝领工作的健康成年女性之排汗指标 与一般健康女性是否有显著差异？ 7 表 1-W2 20 名从事蓝领工作健康女性汗液数据 编号 1X 2X 3X 编号 1X 2X 3X 1 3.7 48.5 9.3 11 3.9 36.9 12.7 2 5.7 65.1 8.0 12 4.5 58.8 12.3 3 3.8 47.2 10.9 13 3.5 27.8 9.8 4 3.2 53.2 12.0 14 4.5 40.2 8.4 5 3.1 55.5 9.7 15 2.5 13.5 10.1 6 4.6 36.1 7.9 16 8.5 56.4 7.1 7 2.4 24.8 14.0 17 4.5 51.6 8.2 8 7.2 63.1 7.6 18 6.5 52.8 10.9 9 6.7 47.4 8.5 19 4.1 44.1 11.2 10 5.4 54.1 11.3 20 5.5 40.9 9...